思维是学生掌握知识的主要的心理过程。发展学生的思维能力既是学生掌握知识的前提，又是发展学生能力的核心。那么，怎样培养学生的思维能力呢？

　　1、教会学生“执果索因”，培养思维的逻辑性

　　逻辑思维是以概念为思维材料，以语言为载体，每推进一步都有充分依据的思维，它以抽象性为主要特征，其基本形式是概念、判断与推理。因此，所谓逻辑思维能力就是正确、合理地进行思考的能力。

　　数学学习过程就是解决问题的过程，而逻辑推理能力就是解决问题的能力。

　　因此，教学中教师首先要教会学生怎样去进行分析、思考、执果索因。

　　例1、已知：△ABC是圆内接三角形，P为劣弧上的一点。

　　求证：PB+PC=PA。

　　分析：⑴ 欲证PB+PC=PA，根据证题经验可知，延长PB至D，使BD=PC，连结DA，故证PD=PA即可。

　　⑵ 欲证PD=PA，只需证∠D=∠PAD即可。

　　⑶ 根据已知及所作辅助线，可证△ADB≌△APC，故∠D=∠APC=∠ABC=60°，因为∠APB=∠ACB=60°，所以∠PAD=60°，故∠D=∠PAD得证。于是问题得以解决。

　　例2、已知：⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P。

　　求证：PM2 =PA·PC。

　　分析：⑴ 根据已知条件，可知PN2 =PA·PC，故欲证PM2 =PA·PC，只需证PM=PN即可。

　　⑵ 欲证PM=PN，根据证题经验，只需证∠PMN=∠PNM即可。

　　⑶ 连结ON，则根据已知条件知，∠BMO+∠B=90°，∠PNM+∠ONB=90°，而∠B=∠ONB，∠BMO=∠PMN，故可证∠PMN=∠PNM。于是问题得以解决。

　　2、教会学生当思维受阻时，如何转换思维，培养思维的灵活性

　　思维的灵活性是指能够根据客观条件的发展与变化，及时地改变先前的思维过程，寻找解决问题的新途径。

　　思维灵活性是数学思维的重要思维品质，它在数学学习中活跃地表现为解题能力，即有的放矢地转化解题方法的能力，灵巧地从一种解题思路转向于另一种思路的能力；或是指具有超脱出习惯处理方法约束的能力，当条件变更时能迅速找到新的方法，也能随着新知识的掌握和经验的积累而重新安排已学会的知识；还表现为从已知因素中看出新的因素，从隐蔽的数学关系中找到问题的实质。

　　爱因斯坦把思维的灵活性看成是创造性的典型特点。因此，在教学中教师还要教会学生当思维受阻时，如何去调整思维。

　　例1、已知：⊙O′、⊙O″外切于P，外公切线AC切⊙O′于A、切⊙O″于C，AB为⊙O′的直径，BD切⊙O″于D。

　　求证：BD=AB。

　　分析：⑴ 欲证BD=AB，根据经验，连结AD，故只需证∠BAD=∠BDA即可。

　　⑵ 欲证∠BAD=∠BDA，则……？无路可循，思维受阻，怎么办？这时应调整思维，尝试换“执果索因”为“由因导果”，从已知条件出发，去探索证题途径。

　　⑶ 探索过P点作内公切线PE，交AC于E。连结AP、PC、BP，则可证∠APC=90°，∠APB=90°，故B、P、C三点共线。根据已知条件，有BD2 =BP·BC，探索AB2=BP·BC吗？

　　⑷ 欲证AB2 =BP·BC，只需证△ABP∽△CBA即可。

　　⑸ 根据条件，△ABP∽△CBA得证，于是问题得以解决。

　　例2、已知：⊙O和⊙O′相交于D、E两点，A为⊙O′上一点，延长AD交⊙O于B，延长AE交⊙O于C，延长AO′交BC于F。

　　求证：AF⊥BC。

　　分析：⑴ 欲证AF⊥BC，只需证∠B+∠BAF=90°即可。

　　⑵ 欲证∠B+∠BAF=90°，则……？无路可循，思维受阻。这时应调整思维，尝试添加辅助线，去创造条件，以达目的。

　　⑶ 探索过A作切线AT，连结DE，则发现可证∠TAD=∠AED=∠B，∠TAD+∠BAF=90°，故∠B+∠BAF=90°得证，于是问题得以解决。

　　3、教给学生一种想象的思维方法——猜想

　　猜想是对研究的问题进行观察、实验、分析、比较、联想、类比、归纳等，依据已有的材料和知识作出符合一定的经验与事实的推测性想象的思维方法。

　　美国著名的数学教育家G·波利亚指出：“在你证明一个数学定理之前，必须猜到这个定理，在你搞清楚证明的细节之前，你必须猜到这个定理证明的主导思想。”数学猜想是数学证明的前提，“数学事实首先是被猜想，然后是被证实。”

　　数学教学中或解题中进行的探索，是关于问题结论或关于解题思路、方法以及答案的形式、范围、数值的猜想。

　　因此，在教学中教师还应教会学生去进行猜想。

　　例如，在讲授“二次三项式的因式分解（求根公式法）”时，可先让学生看到，令二次三项式等于零，就得到一元二次方程，于是便引导学生去猜想：二次三项式的因式分解与解一元二次方程之间会不会有某种特殊的关系呢？如果有，会是怎样的关系呢？进而引导学生按着这个猜想去进行探索，最后发现“求根公式法”。

　　又如，已知二次函数y=ax2 +bx+c的图象经过点A（2，4），与x轴交于点B（x1 ，0）、C（x2 ，0），x12 + x22 = 13 ，且顶点的横坐标为 。

　　（1）求这个函数的解析式，并画出函数的图象；

　　（2）在x轴上方的抛物线上是否存在点D，使 S =2S ？如果存在，求出所有满足条件的点D；如果不存在，请说明理由。

　　分析（2）：欲证“在x轴上方的抛物线上是否存在点D，使 S =2S ？” 故可猜想 点D存在 ，并设其坐标为（x ，y），则由题设可知点D的纵坐标y>0。然后由猜想出发，通过条件 S =2S ，可求出y值，若所求y值符合y>0，则说明满足题设条件的点D存在，将y值代入函数解析式，便可求出D点的横坐标x；若所求y值不符合y>0，则说明满足条件

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